Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點C，AP⊥PC，P為垂足．

求證：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC2=APAB．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）如下圖，連接OC，由已知易得OC⊥PC，結合AP⊥PC可得OC∥AP，從而可得∠PAC=∠ACO，結合∠ACO=∠CAO即可得到∠PAC=∠CAB；

（2）由已知易得∠APC=∠ACB=90°，結合（1）中所得∠PAC=∠CAB可得△PAC∽△CAB，

這樣即可由相似三角形的性質證得：AC2=APAB．

（1）連結OC，如圖．

∵直線PC切半圓O于點C，

∴OC⊥PC，

∵AP⊥PC，

∴OC∥AP，

∴∠PAC=∠OCA，

∵OC=OA，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠PAC=∠CAB；

（2）∵AB為半圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AP⊥PC，

∴∠P=∠ACB，

又∵由（1）可知∠PAC=∠CAB，

∴△PAC∽△CAB，

∴，

∴AC2=APAB．