Question

如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，AD=6．若OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB；
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E為x軸上的點，且S_△AOE=

16

3

，求出點E的坐標，并判斷△AOE與△DAO是否相似？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程求得OA，OB的長，再根據三角函數的定義求得三角函數值即可；
（2）根據三角形的面積公式可求得OE的長，因為沒有指明點E在x軸的左側還是右側所以點E的坐標有兩種可能；根據有一組角相等且其兩邊對應成比例的三角形相似可判定△AOE∽△DAO．

解答：解：（1）解方程：x²-7x+12=0
解得x₁=3，x₂=4（1分）
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3（2分）
由勾股定理得出：
∴AB=5（3分）
∴在Rt△OAB中，sin∠ABC=

OA

AB

=

4

5

（4分）

（2）①∵S_△AOE=

16

3

∴

1

2

OA•OE=

16

3

∴OE=

8

3

（5分）
∴點E的坐標為（-

8

3

，0）或（

8

3

，0）（6分）

②△AOE與△DAO相似，理由如下：
∵

OE

OA

=

2

3

，

OA

AD

=

2

3

∴

OE

OA

=

OA

AD

∵∠AOE=∠DAO=90°（7分）
∴△AOE∽△DAO．（8分）

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定和性質以及解直角三角形的運用．