Question

【題目】如圖1，在邊長為5的菱形ABCD中，cos∠BAD= ，點E是射線AB上的點，作EF⊥AB，交AC于點F．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）求證：AE=2EF；
（3）如圖2，過點F，E，B作⊙O，連結(jié)DF，若⊙O與△CDF的邊所在直線相切，求所有滿足條件的AE的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH= ，

∴AH=3，DH= =4，

∴S菱形ABCD=ABDH=5×4=20．

（2）解：證明：如圖1中，BD與AC交于點G．

在Rt△DHB中，∵DH=4，BH=2，

∴BD= = =2 ，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BG=DG= ，AG= = =2 ，

∵∠EAF=∠BAG，∠AEF=∠AGB=90°，

∴△AEF∽△AGB，

∴ = = =2，

∴AE=2EF．

（3）解：①如圖2中，當⊙O與直線DF相切時，易知，∠BFD=90°，DF=BF．

∵BD=2 ，

∴BF= ，設(shè)EF=x，則AE=2EF=2x，

在Rt△BEF中，∵BF2=EF2+BE2，

∴10=x2+（5﹣2x）2，

解得x=1或3，

∴AE=2或6時，⊙O與直線DF相切．

②如圖3中，當⊙O與AC相切時，易知點F與G重合，設(shè)EF=x，AE=2x，

在Rt△AFE中，∵AG2=AE2+GE2，

∴20=4x2+x2，

∴x2=4，

∴x=2，

∴AE=4時，⊙O與直線CF相切．

③如圖4中，當⊙O與CD相切于點M，延長MO交AE與H，設(shè)EF=x，則AE=2x，則OH= EF= x，BF= ，

∵HM=4，

∴OM+OH=4，

∴ + x=4，

整理得，4x2﹣4x﹣39=0，

解得x= 或 （舍棄），

∴AE=1+2 ，

綜上所述，滿足條件的AE的值為2或4或6或1+2 ．

【解析】（1）如圖1中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，由∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH= ，推出AH=3，DH= =4，即可解決問題；（2）如圖1中，BD與AC交于點G．在Rt△DHB中，可得BD= = =2 ，由四邊形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，BG=DG= ，AG= = =2 ，由△AEF∽△AGB，推出 = = =2，即可解決問題；（3）分三種情形分別求解：①如圖2中，當⊙O與直線DF相切時．②如圖3中，當⊙O與AC相切時．③如圖4中，當⊙O與CD相切于點M．分別求解即可；