Question

【題目】如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E．
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點，

∴AD= OB，OD=BD= OB

∴DO=DA，

∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，

∴∠AEO=60°，

又∵△OBC為等邊三角形，

∴∠BCO=∠AEO=60°，

∴BC∥AE，

∵∠BAO=∠COA=90°，

∴CO∥AB，

∴四邊形ABCE是平行四邊形

（2）解：設OG=x，由折疊可得：AG=GC=8﹣x，

在Rt△ABO中，

∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，

∴AO=BOcos30°=8× =4 ，

在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，

x2+（4 ）2=（8﹣x）2，

解得：x=1，

∴OG=1

【解析】（1）首先根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA，再根據等邊對等角可得∠DAO=∠DOA=30°，進而算出∠AEO=60°，再證明BC∥AE，CO∥AB，進而證出四邊形ABCE是平行四邊形；（2）設OG=x，由折疊可得：AG=GC=8﹣x，再利用三角函數可計算出AO，再利用勾股定理計算出OG的長即可．