Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E是邊CD上的點，且CE＝4，過點E作CD的垂線，并在垂線上截取EF＝3，連接CF．將△CEF繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為a．

（1）問題發現

當a＝0°時，AF＝ ，BE＝ ，＝ ；

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤a°＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明．

（3）問題解決

當△CEF旋轉至A，E，F三點共線時，直接寫出線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）無變化，理由見解析；（3）BE的值為或

【解析】

（1）如圖（見解析），先根據矩形的判定與性質得出DG＝EF＝3，AG＝11，再利用勾股定理求出即可得；

（2）如圖（見解析），先根據相似三角形的判定與性質得出，∠ECF＝∠ACB，從而可得，∠ACF＝∠BCE，再根據相似三角形的判定與性質即可得；

（3）分兩種情況：E在A、F之間和點F在A、E之間，分別利用勾股定理求出AE的長，再利用線段的和差求出AF的長，然后結合（2）的結論即可求出BE的長．

（1）當a＝0°時，如圖，過點F作FG⊥AD于G

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6

由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四邊形DEFG是矩形

∴DG＝EF＝3，AG＝11

∵CE＝4，CD＝6

∴FG＝DE＝2

在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝

同理可得：BE＝

∴=；

（2）的大小無變化，理由如下：

如圖，連接AC

∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4

∴，

∴=

∵∠CEF＝∠ABC＝90°

∴△CEF∽△CBA

∴，∠ECF＝∠ACB

∴，∠ACF＝∠BCE

∴△ACF∽△BCE

∴，即的大小無變化；

（3）當△CEF旋轉至A，E，F三點共線時，存在兩種情況：

①如圖，點E在A、F之間，連接AC

Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10

同理可得：CF＝5

由（2）知：

Rt△AEC中，由勾股定理得：AE＝

∴AF＝AE+EF＝

∴BE＝AF＝＝；

②如圖，點F在A、E之間時，連接AC

同理可得：AF＝AE﹣EF＝

∴BE＝AF＝＝；

綜上所述，BE的值為或．