Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）試說明AC=EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后證得△AFE≌△BCA，繼而證得結論；

（2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．

試題解析：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF

∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，∵AF=BC，AE=BA，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．