Question

【題目】對x，y定義一種新運算T，規定：T（x，y）= （其中a、b均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）= =b．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1． ①求a，b的值；
②若關于m的不等式組 恰好有3個整數解，求實數p的取值范圍；
（2）若T（x，y）=T（y，x）對任意實數x，y都成立（這里T（x，y）和T（y，x）均有意義），則a，b應滿足怎樣的關系式？

Answer 1

【答案】
（1）解：①根據題意得：T（1，﹣1）= =﹣2，即a﹣b=﹣2；

T=（4，2）= =1，即2a+b=5，

解得：a=1，b=3；

②根據題意得： ，

由①得：m≥﹣ ；

由②得：m＜ ，

∴不等式組的解集為﹣ ≤m＜ ，

∵不等式組恰好有3個整數解，即m=0，1，2，

∴2＜ ≤3，

解得：﹣2≤p＜﹣ ；

（2）解：由T（x，y）=T（y，x），得到 = ，

整理得：（x2﹣y2）（2b﹣a）=0，

∵T（x，y）=T（y，x）對任意實數x，y都成立，

∴2b﹣a=0，即a=2b．

【解析】（1）①已知兩對值代入T中計算求出a與b的值；②根據題中新定義化簡已知不等式，根據不等式組恰好有3個整數解，求出p的范圍即可；（2）由T（x，y）=T（y，x）列出關系式，整理后即可確定出a與b的關系式．
【考點精析】關于本題考查的分式的混合運算和解二元一次方程組，需要了解運算的順序:第一級運算是加法和減法;第二級運算是乘法和除法;第三級運算是乘方.如果一個式子里含有幾級運算,那么先做第三級運算,再作第二級運算,最后再做第一級運算;如果有括號先做括號里面的運算.如順口溜:"先三后二再做一,有了括號先做里."當有多層括號時,先算括號內的運算,從里向外{[(?)]}；二元一次方程組：①代入消元法；②加減消元法才能得出正確答案．