Question

【題目】如圖，在中，點在上，，，交于點，過點作的垂線交于點，連接．

（1）求證：；

（2）連接交于點，已知，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由“ASA”可證△BMD≌△CND，可得BD=CD，由線段垂直平分線的性質可得PB=PC；
（2）如圖，在PC上取點F，使CF=CN，連接EF，由“SAS”可證△CEN≌△CEF，可得EN=EF，∠CNP=∠CFE，由等腰三角形的判定可得EN=EF=PF，即可得結論．

證明：（1）∵CN∥AB，
∴∠B=∠BCN，∠BMD=∠CND，且BM=CN，
∴△BMD≌△CND（ASA）
∴BD=CD，且PD⊥BC，
∴PB=PC；
（2）如圖，在PC上取點F，使CF=CN，連接EF，

∵PB=PC，
∴∠PCB=∠B，
∴∠PCB=∠NCB，且CF=CN，CE=CE，
∴△CEN≌△CEF（SAS），
∴EN=EF，∠CNP=∠CFE，
∵∠CFE=∠CPN＋∠PEF，∠CNP=2∠CPN，
∴∠CPE=∠PEF，
∴PF=EF，
∴EN=EF=PF，
∵BP=PC，BM=CN=CF，
∴PM=PF=EN．