Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（-1,0），B（4,0）C（0,2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線交拋物線于點Q，交直線BD于點M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）m=﹣1或m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形．

【解析】

（1）待定系數法求解可得；

（2）先利用待定系數法求出直線BD解析式為y=x﹣2，則Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據此列出關于m的方程，解之可得．

（1）由拋物線過點A（﹣1，0）、B（4，0）可設解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；

（2）由題意知點D坐標為（0，﹣2），設直線BD解析式為y=kx+b，將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直線BD解析式為y=x﹣2．

∵QM⊥x軸，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），則QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4．

∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=．

∵QM∥DF，∴當﹣m2+m+4=時，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=﹣1或m=3，即m=﹣1或m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形．