Question

【題目】某廠家生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等，如圖中的折線ABD，線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1（單位：元），銷售價y2（單位：元）與產量x（單位：kg）之間的函數關系．

（1）請解釋圖中點D的實際意義．

（2）求線段CD所表示的y2與x之間的函數表達式．

（3）當該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】（1）點D的實際意義：當產量為140kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為40元；（2）y2=﹣x+124（0≤x≤140）； （3）當該產品的質量為80kg時，獲得的利潤最大，最大利潤為2560元．

【解析】

(1）點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產量為140kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為40元.

(2)根據線段AB經過的兩點的坐標利用待定系數法確定一次函數的表達式即可.

(3)先求出銷售價與產量x之間的函數關系，利用：總利潤=每千克利潤×產量列出有關x的一次函數，求得最值即可．

解：（1）點D的實際意義：當產量為140kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為40元．

（2）設線段CD所表示的y2與x之間的函數表達式為y2=k1x+b1，

∵點（0，124），（140，40）在函數y2=k1x+b1的圖象上,

∴y2與x之間的函數表達式為y2=﹣x+124（0≤x≤140）；

（3）設線段AB所表示的y1與x之間的函數表達式為y1=k2x+b2，

∵點（0，60），（100，40）在函數y1=k2x+b2的圖象上，

∴y1與x之間的函數表達式為y1=﹣x+60（0≤x≤100）

設產量為x千克時，獲得的利潤為W元.

①當0≤x≤100時，W=[（﹣x+124）﹣（﹣x+60）]x=﹣（x﹣80）2+2560，

∴當x=80時，W的值最大，最大值為2560元．

②當100≤x≤140時，W=[（﹣x+124）﹣40]x=﹣（x﹣70）2+2940, 由﹣＜0知，

當x≥70時，W隨x的增大而減小,

∴當x=100時，W的值最大，最大值為2400元．

∵2560＞2400，

∴當該產品的質量為80kg時，獲得的利潤最大，最大利潤為2560元．