Question

【題目】

（已有經驗）

我們已經研究過作一個圓經過兩個已知點，也研究過作一個圓與已知角的兩條邊都相切，尺規作圖如圖所示：

（遷移經驗）

（1）如圖①，已知點M和直線l，用兩種不同的方法完成尺規作圖：求作⊙O，使⊙O過M點，且與直線l相切．（每種方法作出一個圓即可，保留作圖痕跡，不寫作法）

（問題解決）

如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．

（2）已知⊙O經過點C，且與直線AB相切．若圓心O在△ABC的內部，則⊙O半徑r的取值范圍為 ．

（3）點D是邊AB上一點，BD＝m，請直接寫出邊AC上使得∠BED為直角時點E的個數及相應的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

(1)過直線外一點作已知直線的垂線，作線段的垂直平分線確定圓心，從而畫圓；

(2)分別作出符合題意的臨界點圖形，確定半徑的取值范圍;

(3)根據圓周角定理，點E在以BC為直徑的圓上，從而確定出符合條件的圓的半徑的取值范圍.

（1）如圖，

（2）如圖：

此時圓O的半徑最小，∵圓O與AB相切，

∴CD⊥AB，根據直角三角形的面積公式可得：

根據勾股定理可得：

∴10CD=8×6

CD=4.8，即此時圓的半徑r=2.4

如圖，當圓心O在AC邊上時，根據題意設OC=OD=x,則AO=8-x

∵∠ODA=∠BCA=90°，且∠A=∠A

∴△AOD∽△ABC

∴ , 解得x=3

∴

（3）如圖：

根據圓周角定理∠BED為直角時，則以BD為直徑的圓與AC交于點E，當OE⊥AC時，此時有一個點E符合條件，由題意可知：OE= ，AO=

∵OE∥BC

∴ ,

解得：m=7.5

當BD=AB時，點E與點C重合，此時m=10

∴時，有1個點E符合題意

時，有0個點E符合題意

時，有2個點E符合題意.