Question

【題目】如圖，點C是線段AB上的動點，分別以AC、BC為邊在AB的同側作等邊△ACD、等邊△BCE，BD、AE交于點P．若AB=6，則PC的最大值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先證明△ACE≌△DCB，再證明PC平分∠APB，且∠APB=120°，作△APB的外接圓，延長PC交△APB的外接圓于點Q，可以發現當PQ⊥AB時，PC最大．

如圖，∵△ACD與△BCE都為等邊三角形，∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．

在△ACE和△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD．

過C作CG⊥AE，CH⊥BD．

∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE=S△DCB，即AECG=BDCH．

∵AE=BD，∴CG=CH，∴PC平分∠APB．

∵∠CDB=∠EAC，∠DMP=∠AMC，∴∠ACP=∠DPA=60°，∴∠APB=120°，∠APQ=∠BPQ=60°，作△APB的外接圓，延長PC交△APB的外接圓于Q．

∵∠APB=120°是定值，∠APQ=∠BPQ=60°，∴QA=QB，點Q是定點，∴當PQ⊥AB時，PC的長最大，此時PA=PB，AC=BC，PC=ACtan30°=3×=．

故答案為：．