Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD，將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊（AP＞AM），點A和點B都與點E重合；再將△CQD沿DQ折疊，點C落在線段EQ上點F處．

（1）判斷△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪幾對相似三角形？（不需說明理由）

（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）AB=6．

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質得∠A=∠B=∠C=90°，由折疊的性質和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；

（2）先證明MD=MQ，然后根據sin∠DMF==，設DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根據△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．

試題解析：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，根據折疊的性質可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根據相似的傳遞性，△AMP∽△CQD；

（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，根據折疊的性質可知：∠DQC=∠DQM，∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，∵sin∠DMF==，∴設DF=3x，MD=5x，∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1，∵△AMP∽△BPQ，∴，∴，解得：（舍）或x=2，∴AB=6．