Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點F是上一點，連接AF交CD的延長線于點E．

（1）求證：△AFC∽△ACE；

（2）若AC＝5，DC＝6，當點F為的中點時，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據條件得出＝，推出∠AFC＝∠ACD，結合公共角得出三角形相似；

（2）根據已知條件證明△ACF≌△DEF，得出AC＝DE，利用勾股定理計算出AE的長度，再根據（1）中△AFC∽△ACE，得出＝，從而計算出AF的長度.

（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑

∴＝

∴∠AFC＝∠ACD．

∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC

∴△AFC ∽△ACE

（2）∵四邊形ACDF內接于⊙O

∴∠AFD＋∠ACD＝180°

∵∠AFD＋∠DFE＝180°

∴∠DFE＝∠ACD

∵∠AFC＝∠ACD

∴∠AFC＝∠DFE．

∵△AFC∽△ACE

∴∠ACF＝∠DEF．

∵F為的中點

∴AF＝DF．

∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF

∴△ACF≌△DEF．

∴AC＝DE＝5．

∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑

∴CH＝DH＝3．

∴EH＝8

在Rt△AHC中，AH2＝AC2－CH2＝16，

在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋EH2＝80，∴AE＝4．

∵△AFC∽△ACE

∴＝，即＝，

∴AF＝.