Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC，垂足為點H，連接DE，交AB于點F．

（1）求證：DH是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為4，AE=FE時，求的長（結果保留π）；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由等腰三角形的性質得∠ODB=∠OBD=∠ACB，從而得OD∥AC，進而得DH⊥OD，即可得到結論；

（2）設∠B=∠C=α，由三角形外角的性質得∠EAF=∠EFA=2α，由圓周角定理的推論，得∠E=∠B=α，結合三角形內角和定理，可得α的值，從而可得∠AOD的度數，結合弧長公式，即可求解．

（1）連接OD，

∵OB=OD，

∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB，

∵在△ABC中， AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠OBD=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是⊙O的切線；

（2）∵AE=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

設∠B=∠C=α，

∴∠EAF=∠EFA=2α，

∵∠E=∠B=α，

∴α+2α+2α=180°，

∴α=36°，

∴∠B=36°，

∴∠AOD=72°，

∴的長==．