Question

【題目】（本小題12分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）求證：∠C=2∠DBE．

（3）若EA=AO=2，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題（1）連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線．（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長，∠BOD的度數，又由，即可求得答案．

試題解析：證明：連接OD，

∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC=90°，

∵CD=CB， ∴∠CBD=∠CDB，

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，

∵點D在⊙O上， ∴CD為⊙O的切線．

（2）如圖，∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，

由（1）得：OD⊥EC于點D，∴∠E+∠C=∠E+∠DOE＝90°,

∴∠C=∠DOE＝2∠DBE．

（3）作OF⊥DB于點F,連接AD，

由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜邊的中線，

∴AD=AO=OD,∴∠DOA=60°，∴∠OBD=30°，

又∵OB=AO=2，OF⊥BD，∴ OF=1，BF=，

∴BD=2BF=2，∠BOD=180°-∠DOA =120°，

∴．