Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，點D在邊AC上的一動點，過點D作DE∥AB交邊BC于點E，過點B作BF⊥BC交DE的延長線于點F，分別以DE，EF為對角線畫矩形CDGE和矩形HEBF，則在D從A到C的運動過程中，當矩形CDGE和矩形HEBF的面積和最小時，則EF的長度為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用勾股定理求得AC=3，設DC=x，則AD=3-x，利用平行線分線段成比例定理求得CE=進而求得BE=4-，然后根據S陰=S矩形CDGE+S矩形HEBF得到S陰=x2-8x+12，根據二次函數的性質即可求得CD，進而求得BE和BF，然后根據勾股定理求得即可．

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，

∴AC==3，

設DC=x，則AD=3﹣x．

∵DF∥AB，

∴=，即=，

∴CE=，

∴BE=4﹣．

∵矩形CDGE和矩形HEBF，

∴AD∥BF，

∴四邊形ABFD是平行四邊形，

∴BF=AD=3﹣x，

則S陰=S矩形CDGE+S矩形HEBF=DCCE+BEBF

=xx+（3﹣x）（4﹣x）=x2﹣8x+12，

∵＞0，

∴當x=﹣=時，有最小值，

∴DC=，有最小值，

∴BE=4﹣×=2，BF=3﹣=，

∴EF==，

即矩形CDGE和矩形HEBF的面積和最小時，則EF的長度為，

故答案為：．