Question

【題目】在菱形中，,點是射線上一動點，以為邊向右側作等邊，點的位置隨點的位置變化而變化.

（1）如圖1，當點在菱形內部或邊上時，連接，與的數量關系是 ，與的位置關系是 ；

（2）當點在菱形外部時，(1)中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，

請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理).

(3) 如圖4，當點在線段的延長線上時，連接，若 , ,求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）BP=CE； CE⊥AD；（2）成立，理由見解析；（3） .

【解析】（1）①連接AC，證明△ABP≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等即可證得BP=CE；②根據菱形對角線平分對角可得，再根據△ABP≌△ACE，可得，繼而可推導得出 ，即可證得CE⊥AD；

（2）(1)中的結論：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法進行證明即可；

（3）連接AC交BD于點O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的長，AP長，由△APE是等邊三角形，求得， 的長，再根據，進行計算即可得.

（1）①BP=CE，理由如下：

連接AC，

∵菱形ABCD，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△APE是等邊三角形，

∴AP=AE ，∠PAE=60° ，

∴∠BAP=∠CAE，

∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；

②CE⊥AD ，

∵菱形對角線平分對角，

∴，

∵△ABP≌△ACE，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴ ，

∴CF⊥AD ，即CE⊥AD；

（2）(1)中的結論：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：

連接AC，

∵菱形ABCD，∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAD=120° ，

∠BAP=120°＋∠DAP，

∵△APE是等邊三角形，

∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，

∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，

∴∠BAP=∠CAE，

∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，

∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，

∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD，

∴(1)中的結論：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；

(3) 連接AC交BD于點O，CE，作EH⊥AP于H，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ，

∵∠ABC=60°，，

∴∠ABO=30° ，∴ ， BO=DO=3，

∴BD=6，

由(2)知CE⊥AD，

∵AD∥BC，∴CE⊥BC，

∵ ， ，

∴，

由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，

∴，

∵△APE是等邊三角形，∴ ， ，

∵，

∴，

=

=

=，

∴四邊形ADPE的面積是 .