Question

【題目】如圖，已知AB是的直徑，點P在BA的延長線上，PD切于點D，過點B作，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．

(Ⅰ)求證：AB=BE；

(Ⅱ)連結OC，如果PD=2，∠ABC=60°，求OC的長．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)連接OD，由PD切 O于點D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根據等腰三角形的性質和等量代換可得結論；(Ⅱ)由平行線的性質可得∠DOP=60°，利用三角函數可求出OD、OP、PC的長，即可得CD的長，利用勾股定理求出OC的長即可.

(Ⅰ)連接，

∵PD切于點，

∴．

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

(Ⅱ)∵，，

∴．

∵，

∴，

∴．

∴OD=2，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴DC=PC-PD=．

在中，，

∴，

∴．