Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．

（1）AB=_____；

（2）當∠D=20°時，求∠BOD的度數．

（3）若△ACD與△BCO相似，求AC的長．

Answer 1

【答案】(1)2；（2）100°；（3）.

【解析】試題分析：（1）過點O作OE⊥AB于E，由垂徑定理即可求得AB的長；

（2）連接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，則可求得∠DAB的度數，又由圓周角等于同弧所對圓心角的一半，即可求得∠DOB的度數；

（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△ACD與△BCO相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性質即可求得答案．

試題解析：解：（1）過點O作OE⊥AB于E，則AE=BE=AB，∠OEB=90°．∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OBcos∠B=2×=，∴AB=．故答案為： ．

（2）連接OA．∵OA=OB，OA= OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D．又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△ACD與△BCO相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，此時∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，∴△DAC∽△BOC．∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC= AB=，∴若△ACD與△BCO相似，AC的長度為．