Question

【題目】如圖，△ABC中，⊙O經過A、B兩點，且交AC于點D，連接BD，∠DBC＝∠BAC．

（1）證明BC與⊙O相切；

（2）若⊙O的半徑為6，∠BAC＝30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6π－9.

【解析】

（1）連接BO并延長交⊙O于點E，連接DE．由圓周角定理得出∠BDE=90°，再求出∠EBD+∠DBC=90°，根據切線的判定定理即可得出BC是⊙O的切線；
（2）分別求出等邊三角形DOB的面積和扇形DOB的面積，即可求出答案．

（1）證明：連接BO并延長交⊙O于點E，連接DE,

∵BE是直徑，∴∠EDB＝90°，

∴∠E＋∠EBD＝90°

∵＝，∴∠E＝∠A

又∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC＝∠E

∴∠DBC＋∠EBD＝90°，∴∠EBC＝90°，∴BC⊥EB.

又∵OB是半徑（B在⊙O上），∴BC與⊙O相切.

（2）∵＝，∴∠BOD＝2∠A＝60°

S陰影＝ S扇形OBD－S△OBD＝π36×－9＝6π－9.