Question

【題目】如圖，在ABCD中，已知AD＝10cm，tanB＝2，AE⊥BC于點E，且AE＝4cm，點P是BC邊上一動點．若△PAD為直角三角形，則BP的長為_____

Answer 1

【答案】2cm或4cm或10cm

【解析】

由三角函數得出BE=2，分兩種情況：

①當∠PAD=90°時，點P與E重合，BP=BE=2；

②當∠APD=90°時，作DF⊥ABC于F，則∠DFP=∠AEP=90°，DF=AE=4，證明△APE∽△PDF，得出 ，解得PE=2，或PE=8，得出BP=BE+PE=4，或BP=BE+PE=10；即可得出答案．

解：∵AE⊥BC，

∴∠AEB＝∠AEC＝90°，

∵tanB＝＝2，且AE＝4，

∴BE＝2，

分兩種情況：

①當∠PAD＝90°時，點P與E重合，BP＝BE＝2；

②當∠APD＝90°時，作DF⊥ABC于F，如圖所示：

則∠DFP＝∠AEP＝90°，DF＝AE＝4，

∵∠APE+∠PAE＝∠APE+∠DPF＝90°，

∴∠PAE＝∠DPF，

∴△APE∽△PDF，

∴，即＝，

解得：PE＝2，或PE＝8，

∴BP═BE+PE＝4，或BP＝BE+PE＝10

綜上所述，若△PAD為直角三角形，則BP的長為2cm或4cm或10cm；

故答案為：2cm或4cm或10cm.