Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點D，E，連結AD．已知∠CAD=∠B．

（1）求證：AD是⊙O的切線．

（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）r=．

【解析】（1）連接OD，由OD=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到∠1=∠3，求出∠4為90°，即可得證；

（2）設圓的半徑為r，利用銳角三角函數定義求出AB的長，再利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到結果．

詳（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠3=∠B，

∵∠B=∠1，

∴∠1=∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，

∴∠4=180°-（∠2+∠3）=90°，

∴OD⊥AD，

則AD為圓O的切線；

（2）設圓O的半徑為r，

在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，

根據勾股定理得：AB=，

∴OA=4-r，

在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，

∴CD=ACtan∠1=2，

根據勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，

在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（4-r）2=r2+20，

解得：r=．