Question

【題目】如圖，AM∥BN，∠MAB和∠NBA的角平分線相交于點P，過點P作直線EF分別交AM、BN于F、E．

(1)求證：AB＝AF+BE；

(2)若EF繞點P旋轉，F在MA的延長線上滑動，如圖，請你測量，猜想AB、AF、BE之間的關系，寫出這個關系式，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)見解析.

【解析】

(1)延長AP交BE于Q，求出AB=BQ，根據BP平分∠ABE求出AP=PQ，推出AF=EQ，即可得出答案；

（2）①求出AB=BQ，根據BP平分∠ABE求出AP=PQ，推出AF=EQ，即可得出答案；

②延長AP交BE于Q，同①可得AB=BQ，再求出AF=EQ，即可得出答案．

(1)延長AP交BE于Q，

∵AP平分∠MAB，

∴∠MAP＝∠BAP，

∵AM∥BN，

∴∠MAP＝∠AQB，

∴∠BAP＝∠AQB，

∴AB＝BQ，

∵BP平分∠ABE，

∴AP＝PQ，

∵AM∥BN，

∴＝＝1，

∴AF＝EQ，

∴AB＝AF+BE；

(2)①成立，

如圖2，

延長AP交BE于Q，

∵AP平分∠MAB，

∴∠MAP＝∠BAP，

∵AM∥BN，

∴∠MAP＝∠AQB，

∴∠BAP＝∠AQB，

∴AB＝BQ，

∵BP平分∠ABE，

∴AP＝PQ，

∵AM∥BN，

∴＝＝1，

∴AF＝EQ，

∴AB＝AF+BE；

②不同，猜想：AF+AB＝BE，

證明：延長AP交BE于Q，

∵AP平分∠MAB，

∴∠MAP＝∠BAP，

∵AM∥BN，

∴∠MAP＝∠AQB，

∴∠BAP＝∠AQB，

∴AB＝BQ，

∵BP平分∠ABE，

∴AP＝PQ，

∵AM∥BN，

∴＝＝1，

∴AF＝EQ，

∴AF+AB＝BE．