Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK．再證明△ABF≌△KBE，可得AF＝EK；然后根據垂線段最短可知，當KE⊥AD時，KE的值最小，最后解直角三角形求出EK即可．

解：如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK．

∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，

∴∠ABF＝∠KBE，

∴△ABF≌△KBE（SAS），

∴AF＝EK，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，

∵∠BAK＝60°，

∴∠EAK＝75°，

∵∠AEK＝90°，

∴∠AKE＝15°，

∵TA＝TK，

∴∠TAK＝∠AKT＝15°，

∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，

設AE＝a，則AT＝TK＝2a，ET＝a，

在Rt△AEK中，

∵AK2＝AE2+EK2，

∴a2+（2a+a）2＝2，

∴a＝，

∴EK＝2a+a＝，

∴AF的最小值為．

故答案為．