Question

【題目】對任意一個兩位數m，如果m等于兩個正整數的平方和，那么稱這個兩位數m為“平方和數”，若m＝a2+b2（a、b為正整數），記A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一個“平方和數”，則A（29）＝2×5＝10．

（1）判斷25是否是“平方和數”，若是，請計算A（25）的值；若不是，請說明理由；

（2）若k是一個“平方和數”，且A（k）＝，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）25是“平方和數”，A(25)=12；（2）k的值為10或20或34或52或74

【解析】

（1）把25寫成兩個正整數的平方和，再根據A（m）＝ab求出A（25）便可；

（2）設k＝a2+b2，則A（k）＝ab，根據（k）＝，得a、b的方程，求得a與b的關系式，進而由a、b、k滿足的條件求得k的值便可．

（1）25是“平方和數”

∵25＝32+42

∴A(25)＝3×4＝12

故答案為：25是“平方和數”，A(25)=12

（2）設k＝a2+b2，則A(k)＝ab

∵A(k)＝

∴ab＝

∴2ab＝a2+b2﹣4

∴a2﹣2ab+b2＝4

∴(a﹣b)2＝4

∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，

∵a、b為正整數，k為兩位數，

∴當a＝1，b＝3或a＝3，b＝1時，k＝10；

當a＝2，b＝4或a＝4，b＝2時，k＝20；

當a＝3，b＝5或a＝5，b＝3時，k＝34；

當a＝4，b＝6或a＝6，b＝4時，k＝52；

當a＝5，b＝7或a＝7，b＝5時，k＝74；

綜上，k的值為：10或20或34或52或74．

故答案為：k的值為10或20或34或52或74