Question

【題目】閱讀下列材料解決問題：
材料：古希臘著名數學家 畢達哥拉斯發現把數1，3，6，10，15，21…這些數量的（石子），都可以排成三角形，則稱像這樣的數為三角形數．
把數 1，3，6，10，15，21…換一種方式排列，即
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…
從上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形數“名副其實”．
（1）設第一個三角形數為a1=1，第二個三角形數為a2=3，第三個三角形數為a3=6，請直接寫出第n個三角形數為an的表達式（其中n為正整數）．
（2）根據（1）的結論判斷66是三角形數嗎？若是請說出66是第幾個三角形數？若不是請說明理由．
（3）根據（1）的結論判斷所有三角形數的倒數之和T與2的大小關系并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意得：an= （n為正整數）；
（2）解： 66是三角形數，理由如下：

當 =66時，解得：n=11或n=﹣12（舍去），

則66是第11個三角形數

（3）T= + + + +…+ = + + + +…+ =2（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= ，

∵n為正整數，∴0＜ ＜1，

則T＜2

【解析】（1）列出部分an的值，根據an的變化找出規律an=,（n為正整數）；(2)66是三角形數，理由如下,結合（1）結論得=66解關于n的方程，即可得出n的值，從而得出結論；（3）將分數變形成兩個分數相減的形式，求出T的值再與2進行比較即可。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數與式的規律的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握先從圖形上尋找規律，然后驗證規律，應用規律，即數形結合尋找規律．