Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．

（1）已知BD= ，求正方形ABCD的邊長；
（2）猜想線段EM與CN的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD= ，

∴AB=1，

∴正方形ABCD的邊長為1；

（2）

解：CN= CM．

證明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線，

∴CE⊥AF，

∴∠AEN=∠CBN=90°，

∵∠ANE=∠CNB，

∴∠BAF=∠BCN，

在△ABF和△CBN中，

，

∴△ABF≌△CBN（AAS），

∴AF=CN，

∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，

∴∠BAF=∠OCM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∴∠ABF=∠COM=90°，

∴△ABF∽△COM，

∴ ，

∴ = ，

即CN= CM．

【解析】（1）根據正方形的性質以及勾股定理即可求得；（2）根據等腰三角形三線合一的性質證得CE⊥AF，進一步得出∠BAF=∠BCN，然后通過證得△ABF≌△CBN得出AF=CN，進而證得△ABF∽△COM，根據相似三角形的性質和正方形的性質即可證得CN= CM．本題考查了正方形的性質，勾股定理的應用，等腰三角形三線合一的性質，三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．