Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點O為圓心的圓分別交x軸的正半軸于點M，交y軸的正半軸于點N．劣弧 的長為 π，直線y=﹣ x+4與x軸、y軸分別交于點A、B．

（1）求證：直線AB與⊙O相切；
（2）求圖中所示的陰影部分的面積（結果用π表示）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：作OD⊥AB于D，如圖所示：∵劣弧 的長為 π，

∴ = ，

解得：OM= ，

即⊙O的半徑為 ，

∵直線y=﹣ x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，

當y=0時，x=3；當x=0時，y=4，

∴A（3，0），B（0，4），

∴OA=3，OB=4，

∴AB= =5，

∵△AOB的面積= ABOD= OAOB，

∴OD= = =半徑OM，

∴直線AB與⊙O相切；

（2）

解：圖中所示的陰影部分的面積=△AOB的面積﹣扇形OMN的面積= ×3×4﹣ π×（ ）2=6﹣ π．

【解析】（1）作OD⊥AB于D，由弧長公式和已知條件求出半徑OM= ，由直線解析式求出點A和B的坐標，得出OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB=5，再由△AOB面積的計算方法求出OD，即可得出結論；（2）陰影部分的面積=△AOB的面積﹣扇形OMN的面積，即可得出結果．本題考查了切線的判定、弧長公式、一次函數圖象上點的坐標特征、勾股定理、扇形面積的計算等知識；熟練掌握切線的判定，由三角形的面積求出半徑是解決問題的關鍵．