Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設CE=a，CF=b．

（1）如圖1，當∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；
（2）當△AEF是直角三角形時，求a、b的值；
（3）如圖3，探索∠EAF繞點A旋轉的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACF=∠DCD=90°，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被對角線AC平分，

∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中，

，

∴△ACF≌△ACE，

∴CE=CE，

∵CE=a，CF=b，

∴a=b；

（2）

解：當△AEF是直角三角形時，

①當∠AEF=90°時，

∵∠EAF=45°，

∴∠AFE=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF2=2FE2=2（CE2+CF2），

AF2=2（AD2+BE2），

∴2（CE2+CF2）=2（AD2+BE2），

∴CE2+CF2=AD2+BE2，

∴CE2+CF2=16+（4+CE）2，

∴CF2=8（CE+4）①

∵∠AEB+∠BEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BEF=∠BAE，

∴△ABE∽△ECF，

∴ ，

∴ ，

∴4CF=CE（CE+4）②，

聯立①②得，CE=4，CF=8

∴a=4，b=8，

②當∠AFE=90°時，

同①的方法得，CF=4，CE=8，

∴a=8，b=4．

（3）

ab=32，

理由：如圖，

∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，

∴∠BAG=∠AFC，

∵∠BAC=45°，

∴∠BAG+∠CAF=45°，

∴∠AFC+∠CAF=45°，

∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，

∴∠CAF=∠AEC，

∵∠ACF=∠ACE=135°，

∴△ACF∽△ECA，

∴ ，

∴EC×CF=AC2=2AB2=32

∴ab=32

【解析】（1）當∠EAF被對角線AC平分時，易證△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分兩種情況進行計算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，兩式聯立解方程組即可；（3）先判斷出∠AFC+∠CAF=45°，再判斷出∠AFC+∠AEC=45°，從而求出∠AEC，而∠ACF=∠ACE=135°，得到△ACF∽△ECA，即可．此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，相似三角形的性質和判定，解本題的關鍵是判斷△ACF∽△ECA，也是本題的難點．