Question

如圖1，已知正方形ABCD的邊長為2

3

，點M是AD的中點，P是線段MD上的一動點（P不與M，D重合），以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線交BC于點F，切點為E．
（1）除正方形ABCD的四邊和⊙O中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段（不能添加字母和輔助線）；
（2）求四邊形CDPF的周長；
（3）延長CD，F(xiàn)P相交于點G，如圖2所示．是否存在點P，使BF•FG=CF•OF？如果存在，試求此時AP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）FB=FE，PE=PA．

（2）四邊形CDPF的周長為
FC+CD+DP+PE+EF=FC+CD+DP+PA+BF
=BF+FC+CD+DP+PA
=BC+CD+DA
=2

3

×3=6

3

．

（3）存在．
∵BF•FG=CF•OF
∴

BF

OF

=

CF

FG

∵cos∠OFB=

BF

OF

，cos∠GFC=

CF

FG

∴∠OFB=∠GFC
∵∠OFB=∠OFE
∴∠OFE=∠OFB=∠GFC=60°
∴在Rt△OFB中，F(xiàn)E=FB=

OB

tan60°

=1
∴在Rt△GFC中
∵CG=CF•tan∠GFC=CF•tan60°=（2

3

-1）tan60°=6-

3

∴DG=CG-CD=6-3

3

∴DP=DG•tan∠PGD=DG•tan30°=2

3

-3
∴AP=AD-DP=2

3

-（2

3

-3）=3．