Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：BC=

1

2

AB；
（3）點(diǎn)M是

AB

的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB=4，求MN•MC的值．

Answer 1

（1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半徑．
∴PC是⊙O的切線．（3分）

（2）證明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=

1

2

AB．（6分）

（3）連接MA，MB，
∵點(diǎn)M是

AB

的中點(diǎn)，
∴

AM

=

BM

，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴

BM

MC

=

MN

BM

．
∴BM²=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直徑，

AM

=

BM

，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=2

2

．
∴MN•MC=BM²=8．（10分）