Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，直線經過點，與拋物線的另一個交點為點，點的橫坐標為3，線段在線段上移動，=1，分別過點作軸的垂線，交拋物線于,交直線于.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當四邊形DEFG為平行四邊形時，求出此時點P，Q的坐標;

(3)在線段PQ的移動過程中，以D，E，F，G為頂點的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值，若沒有請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+2;(2)P(,0),Q(,0);(3)x=時，面積有最大值.

【解析】

（1）由點C的橫坐標為3，代入直線y＝x+，可得點C的坐標為（3，2），再把點C（3，2）代入拋物線，可求得a的值，進而得出拋物線的解析式；

（2）設點P（m，0），Q（m+1，0），可得點D（m， m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），當四邊形DEFG為平行四邊形時，有ED＝FG，可列出關于m的方程，解方程求得m的值，即可得出點P、Q的坐標；

（3）設以D、E、F、G為頂點的四邊形面積為S，由（2）可得，S＝×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，根據二次函數圖象的性質即可得出以D、E、F、G為頂點的四邊形面積的最大值．

（1）∵點C的橫坐標為3，

∴y＝×3+＝2，

∴點C的坐標為（3，2），

把點C（3，2）代入拋物線，可得2＝9a﹣9a﹣4a，

解得：a＝-，

∴拋物線的解析式為y＝；

（2）設點P（m，0），Q（m+1，0），

由題意，點D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），

∵四邊形DEFG為平行四邊形，

∴ED＝FG，

∴，即

=，

∴m＝0.5，

∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；

（3）設以D、E、F、G為頂點的四邊形面積為S，

由（2）可得，S＝，

∴當m＝時，S最大值為，

∴以D、E、F、G為頂點的四邊形面積有最大值，最大值為．