Question

【題目】綜合與實踐

動手實踐：數學課上老師讓學生們折矩形紙片下面幾幅圖是學生們折出的一部分圖形（沿直線折疊）由于折痕所在的直線不同，折出的圖形也不同，各個圖形中所“隱含的”基本圖形也不同．我們可以通過發現基本圖形研究這些圖形中幾何問題．

問題解決：（1）如圖1，將矩形紙片沿直線折疊，使得點與點重合，點落在點的位置，連接，，，線段交于點，則與的關系為 ，線段與線段的關系為 ．

小強量得，則 ．

小麗說：“四邊形是菱形”，請你幫她證明．

拓展延伸：（2）如圖2，矩形紙片中，，，小明將矩形紙片沿直線折疊，點落在點的位置，交于點，請你直接寫出線段的長： ．

綜合探究：（3）如圖3，是一張矩形紙片，，．在矩形的邊上取一點，在上取一點，將紙片沿折疊，使線段與線段交于點，得到．請你確定面積的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】（1）全等，垂直，80°，證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）矩形紙片沿直線折疊，點落在點的位置，得，因為，所以≌，證明≌，可得MN⊥AC；已知，所以，可得，根據AD∥BC，得出，所以；

證明△ANO≌△AMO，根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形來判定四邊形是菱形．

（2）過點M作ME⊥AD，交AD于E，設NE=x，MN=，B1N=4-，AN=4-x，

在Rt△AB1M中利用勾股定理可求出x，即可求出ND

（3）先求△MNP面積的最小值，過點M作ME⊥DN，垂足為E，已知ME=AD=1，∠PNM=∠PMN，可得MP=NP，根據MPME，可得NP1，所以△MNP的面積值大于等于；

然后求△MNP面積可以取到的最大值，分兩種情況討論，情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點P也與D重合．情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC，分別求解△MNP的面積，此時為△MNP面積可取到的最大值，綜上所示即可求解出△MNP面積的取值范圍．

（1）∵矩形紙片沿直線折疊，點落在點的位置

∴

又∵

∴≌

∵矩形紙片沿直線折疊，點落在點的位置

∴≌

∴∠AOM=∠COM=90°

∴MN⊥AC

∵

∴

∵NA=NC

∴

∵AD∥BC

∴

∴

∵MN⊥AC

∴

∵，AO=AO

∴△ANO≌△AMO

∴ON=OM

又∵OA=OC，MN⊥AC

∴四邊形是菱形

故答案為：全等，垂直，80°，證明見解析

（2）過點M作ME⊥AD，交AD于E

設NE=x

MN=，B1N=4-，AN=4-x

在Rt△AB1M中

(4-x)2=32+(4-)2

解得x=

∴ND=NE+ED=2+=

故答案為：

（3）過點M作ME⊥DN，垂足為E，

ME=AD=1．

∵∠PNM=∠PMN，

∴MP=NP，

又∵MPME，

∴NP1．

∴△MNP的面積=NPME

∴△MNP的面積大于等于

情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點P也與D重合．

MP=MB=x，則AM=5x

由勾股定理得12+（5-x）2=x2

解得x=2.6

∴MD=ND=2.6

S△MNP==1.3

情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC

MP=AP=CP=x，則DP=5x

同理可得：MP=NP=2.6

∵MD=1，

∴S△MNP==1.3

△MNP的面積最大值為1.3．

綜上所述面積的取值范圍為≤S△MNP≤1.3