Question

【題目】如圖，已知在中，，將繞點逆時針旋轉得到，交直線于．發現： ．

探究①：若恰好是的中點，交于，如圖2，求的長；

探究②：在旋轉過程中，當是等腰三角形時，求點所旋轉的路徑長(保留)

Answer 1

【答案】發現：1；探究①：；探究②：或或或．

【解析】

發現：根據直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半可得答案；

探究①：根據直角三角形斜邊上中線的性質可得，，結合可得，然后根據進行計算；

探究②：分時和時兩種情況，在每種情況下再分時和時兩種情況，分別根據旋轉的性質和等腰三角形的性質求出旋轉角α，再根據弧長公式計算即可．

解：發現：由題意得；

探究①：∵，M是斜邊的中點，，，

∴，，

∴，

∵將繞點逆時針旋轉得到，

∴，

∵，

∴，

∴；

探究②：若時，連接，由題意得，

∵，

∴，

∵，

∴當時，有，即，

解得：，

∴點所旋轉的路徑長為：；

當時，有，即，

解得：，

∴點所旋轉的路徑長為：；

若時，

∵，

∵當時，有，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴點所旋轉的路徑長為：，

同理，當時，有，

∴點所旋轉的路徑長為：，

綜上所述，點所旋轉的路徑長為：或或或．