Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D為第四象限拋物線上一點，設點D的橫坐標為m，四邊形ABCD的面積為S，求S與m的函數關系式，并求S的最值；

（3）點P在拋物線的對稱軸上，且∠BPC＝45°，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝ x2﹣x﹣4；（2）S＝﹣（m﹣2）2+16，S的最大值為16；（3）點P的坐標為：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．

【解析】

（1）根據交點式可求出拋物線的解析式；
（2）由S=S△OBC+S△OCD+S△ODA，即可求解；
（3）∠BPC=45°，則BC對應的圓心角為90°，可作△BCP的外接圓R，則∠BRC=90°，過點R作y軸的平行線交過點C與x軸的平行線于點N、交x軸于點M，證明△BMR≌△RNC（AAS）可求出點R（1，-1），即點R在函數對稱軸上，即可求解．

解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0），

∴拋物線的表達式為：y＝（x﹣4）（x+2）＝ x2﹣x﹣4；

（2）設點D（m， m2﹣m﹣4），可求點C坐標為（0，-4），

∴S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA

＝

＝﹣（m﹣2）2+16，

當m＝2時，S有最大值為16；

（3）∠BPC＝45°，則BC對應的圓心角為90°，如圖作圓R，則∠BRC＝90°，

圓R交函數對稱軸為點P，過點R作y軸的平行線交過點C與x軸的平行線于點N、交x軸于點M，設點R（m，n）．

∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，

∴∠CRN＝∠MBR，

∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，

∴△BMR≌△RNC（AAS），

∴CN＝RM，RN＝BM，

即m+2＝n+4，﹣n＝m，

解得：m＝1，n＝﹣1，

即點R（1，﹣1），即點R在函數對稱軸上，

圓的半徑為：＝，

則點P的坐標為：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．