Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別為AB、BC的中點，點H是AD邊上一點，將△DCF沿DF折疊得△DC′F，將△AEH沿EH折疊后點A的對應點A′剛好落在DC′上，則cos∠DA′H=______．

Answer 1

【答案】．

【解析】

延長DC'交AB于K，連接FK，分別過H，E作DK的垂線，垂足分別為M，N，利用正方形的性質及軸對稱的性質，先證Rt△FBK≌Rt△FC'K，推出BK=C'K，在Rt△ADK中，利用勾股定理求出BK，C'K的長，進一步求出EK的長，在Rt△KEN與Rt△KAD中，利用三角函數求出EN的長，在Rt△EA'N中，求出cos∠A'EN的值，證∠DA'H與∠A'EN相等即可．

解：如圖，延長DC'交AB于K，連接FK，分別過H，E作DK的垂線，垂足分別為M，N，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠A=∠∠B=∠C=90°，AB=BC=6，

∵E，F分別為AB，BC的中點，

∴AE=BE=BF=FC=×6=3，

由翻折知，△DCF≌△DC'F，△AEH≌△A'EH，

∴∠FC'D=∠C=90°，∠A=∠HA'E=90°，AE=A'E=3，C'F=CF=BF=3，DC'=DC=6，

∴∠B=∠FC'K=90°，

又∵KF=KF，

∴Rt△FBK≌Rt△FC'K（HL），

∴KB=KC'，

設KB=KC'=x，

在Rt△ADK中，AD=6，AK=6-x，DK=6+x，

∵DK2=AD2+AK2，

∴（6+x）2=62+（6-x）2，

解得：x=，

∴BK=C'K=，

∴DK=DC'+KC'=6+=，EK=BE-BK=，

在Rt△KNE與Rt△KAD中，

sin∠EKN=，

即，

解得，EN=，

∵∠DA'H+∠EA'N=90°，∠EA'N+∠NEA'=90°，

∴∠HA'D=∠NEA'，

在Rt△EA'N中，cos∠A'EN===，

即cos∠DA'H=，

故答案為：．