Question

【題目】二次函數圖象的頂點在原點，經過點點在軸上，直線與軸交于點．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點是拋物線上的點，過點作軸的垂線與直線交于點，求證：；

（3）當時等邊三角形時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2（2）見解析（3）（2，3）或（2，3）

【解析】

（1）根據題意可設函數的解析式為y＝ax2，將點A代入函數解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數的解析式；

（2）過點P作PB⊥y軸于點B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF＝PM；

（3）首先可得∠FMH＝30，設點P的坐標為（x，x2），根據PF＝PM＝FM，可得關于x的方程，求出x的值即可得出答案．

（1）∵二次函數圖象的頂點在原點O，

∴設二次函數的解析式為y＝ax2，

將點代入y＝ax2得：a＝，

∴二次函數的解析式為y＝x2；

（2）設P（m，m2），

∵F（0，1），

∴PF＝＝m2＋1，

∵PM⊥HM，且點M在直線y＝1上，

∴PM＝m2＋1，

∴PF＝PM；

（3）當△FPM是等邊三角形時，∠PMF＝60，

∴∠FMH＝30，

在Rt△MFH中，MF＝2FH＝2×2＝4，

∵PF＝PM＝FM，

∴x2＋1＝4，

解得：x＝±2，

∴x2＝×12＝3，

∴滿足條件的點P的坐標為（2，3）或（2，3）．