Question

【題目】如圖1，已知平行四邊形ABCD頂點A的坐標為（2，6），點B在y軸上，且AD∥BC∥x軸，過B，C，D三點的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（2，2），點F（m，6）是線段AD上一動點，直線OF交BC于點E．

（1）求拋物線的表達式；

（2）設四邊形ABEF的面積為S，請求出S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）如圖2，過點F作FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，連接MN，直線AC分別交x軸，y軸于點H，G，試求線段MN的最小值，并直接寫出此時m的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3（2＜m≤6）；（3）當m=時，MN最小=．

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質和拋物線的特點確定出點D，然而用待定系數法確定出拋物線的解析式．（2）根據AD∥BC∥x軸，且AD，BC間的距離為3，BC，x軸的距離也為3，F（m，6），確定出E（，3），從而求出梯形的面積．（3）先求出直線AC解析式，然后根據FM⊥x軸，表示出點P（m，﹣m+9），最后根據勾股定理求出MN=，從而確定出MN最大值和m的值．

試題解析：（1）∵過B，C，D三點的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（2，2），

∴點C的橫坐標為4，BC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD=BC=4，

∵A（2，6），

∴D（6，6），

設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+2，

∵點D在此拋物線上，

∴6=a（6﹣2）2+2，

∴a=，

∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，

（2）∵AD∥BC∥x軸，且AD，BC間的距離為3，BC，x軸的距離也為3，F（m，6）

∴E（，3），

∴BE=，

∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3

∵點F（m，6）是線段AD上，

∴2≤m≤6，

即：S=m﹣3（2≤m≤6）．

（3）∵拋物線解析式為y=x2﹣x+3，

∴B（0，3），C（4，3），

∵A（2，6），

∴直線AC解析式為y=﹣x+9，

∵FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P

∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）

∴PN=m，PM=﹣m+9，

∵FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過點P作PN⊥y軸，

∴∠MPN=90°，

∴MN===

∵2≤m≤6，

∴當m=時，MN最小==．