Question

【題目】如圖，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E為AC的中點，連接DE并延長交BC于點F，連接AF．

（1）求證：AD＝CF；

（2）在原有條件不變的情況下，請你再添加一個條件（不再增添輔助線），使四邊形AFCD成為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）添加DA＝DC，見解析

【解析】

（1）根據AD∥BC證得∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠EFC，根據E為AC的中點得到AE＝CE，再利用AAS證得△DEA≌△FEC即可得到AD＝CF；

（2）若四邊形AFCD成為菱形，則應證四邊形AFCD是平行四邊形，因而加一組鄰邊相等即可，如：DA＝DC．

（1）證明：在△DEA和△FEC中，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠EFC．

又∵E為AC的中點，

∴AE＝CE．

∴△DEA≌△FEC．

∴AD＝CF．

（2）添加DA＝DC．

證明：∵AD∥BC，

又∵AD＝CF，

∴四邊形AFCD為平行四邊形．

又∵DA＝DC，

∴四邊形AFCD為菱形．