Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6m，AD=4m．
（1）如圖（1），矩形AEFN的頂點E，N分別在邊AB和AD上，點F在矩形ABCD的內部，以點A為位似中心，作矩形AEFN的位似矩形AMPQ，且使得矩形的頂點P恰好落在對角線BD上；（不要求寫作法）
（2）若AM=4m，求矩形AMPQ的面積；
（3）如圖（2），在一個矩形空地ABCD上，王師傅準備修建一個矩形的花壇AMPQ，要求點M在AB上，點Q在AD上，設AM的長為xm，矩形AMPQ的面積為Sm²，求當x為何值時，S有最大值？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據位似圖形的定義，連接AF并延長與BD相交于P，過P作PM∥AD交AB于M，作PQ∥AB交AD于Q，四邊形AMPQ即為矩形AEFN的位似圖形；
（2）先求出MB，然后根據△ABD和△MBP相似，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求出PM，再根據矩形的面積公式列式計算即可得解；
（3）用x表示出MB=6-x，然后根據△ABD和△MBP相似，再利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求出PM，再根據矩形的面積公式列式整理，然后根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）矩形AEFN的位似矩形AMPQ如圖所示；

（2）∵AB=6m，AM=4m，
∴MB=AB-AM=6-4=2m，
∵PM∥AD，
∴△ABD∽△MBP，
∴

PM

AD

=

MB

AB

，
即

PM

4

=

2

6

，
解得PM=

4

3

m，
∴矩形AMPQ的面積=AM•PM=4×

4

3

=

16

3

m²；

（3）AM=xm時，MB=AB-AM=6-x，
∵PM∥AD，
∴△ABD∽△MBP，
∴

PM

AD

=

MB

AB

，
即

PM

4

=

6-x

6

，
解得PM=

2

3

（6-x），
∴矩形AMPQ的面積為S=AM•PM=x•

2

3

（6-x）=-

2

3

（x²-6x+9）+6=-

2

3

（x-3）²+6，
即S=-

2

3

（x-3）²+6，
所以，當x=3m時，S有最大值為6m²．

點評：本題是四邊形綜合題型，主要考查了位似圖形的畫法，相似三角形的判定與性質，二次函數的最值問題，難度不大，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式表示出PM是解題的關鍵．