Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，已知A（2，0）、C（1，3

3

），將△OAC繞AC的中點G旋轉180°，點O落到點B的位置，拋物線y=ax²-2

3

x經過點A，點D是拋物線的頂點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）判斷點B是否在拋物線上；
（3）若點P是x軸上A點左邊的一個動點，當以P、A、D為頂點的三角形與△OAB相似時，求出點P的坐標；
（4）若點M是y軸上的一個動點，要使△MAD的周長最小，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

（1）將A（2，0）代入y=ax²-2

3

x得，
4a-4

3

=0，
解得a=

3

，
∴拋物線的解析式為y=

3

x²-2

3

x；

（2）由旋轉知，四邊形OABC是平行四邊形，
∴BC∥OA，BC=AO，
∵A（2，0）、C（1，3

3

），
∴x_B=1+2=3，y_B=y_C=3

3

，
∴B（3，3

3

），
將B（3，3

3

）代入y=

3

x²-2

3

x得，

3

×3²-2

3

×3=3

3

，
∴點B在拋物線上；

（3）過點B作BE⊥x軸于E，過點D作DF⊥x軸于F，
由y=

3

x²-2

3

x=

3

（x-1）²-

3

得頂點D（1，-

3

），
∵B（3，3

3

），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，tan∠BOE=

BE

OE

=

3 3

3

=

3

，
tan∠DAF=

DF

AF

=

3

2-1

=

3

，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
∵OA=2，OB=

32+(3 3 )2

=6，
AD=

(2-1)2+( 3 )2

=2，
∴△APD和△OAB相似分如下兩種情況：
①APD=∠OAB時△APD和△OAB相似，
∴

AP

OA

=

AD

OB

，
即

AP

2

=

2

6

，
解得AP=

2

3

，
∴OP=OA-AP=2-

2

3

=

4

3

，
∴點P的坐標為（

4

3

，0）；
②∠APD=∠OBA時△APD和△OBA相似，
∴

AP

OB

=

AD

OA

，
即

AP

6

=

2

2

，
解得AP=6，
∴OP=AP-OA=6-2=4，
∴點P的坐標為（-4，0），
綜上所述，點P（

4

3

，0）或（-4，0）；

（4）點A（2，0）關于y軸的對稱點A′坐標為（-2，0），
根據軸對稱確定最短路線，直線A′D與y軸的交點即為使△MAD的周長最小的點M的位置，
設直線A′D的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=0 k+b=- 3

，
解得

k=- 3 3 b=- 2 3 3

，
∴直線A′D的解析式為y=-

3

3

x-

2 3

3

，
x=0時，y=-

2 3

3

，
∴點M的坐標為（0，-

2 3

3

）．