Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（12，0）、（12，6），直線y＝－x＋b與y軸交于點P，與邊OA交于點D，與邊BC交于點E．
小題1:若直線y＝－x＋b平分矩形OABC的面積，求b的值；
小題2:在（1）的條件下，當直線y＝－x＋b繞點P順時針旋轉時，與直線BC和x軸分別交于點N、M，問：是否存在ON平分∠CNM的情況？若存在，求線段DM的長；若不存在，請說明理由；
小題3:在（1）的條件下，將矩形OABC沿DE折疊，若點O落在邊BC上，求出該點坐標；若不在邊BC上，求將（1）中的直線沿y軸怎樣平移，使矩形OABC沿平移后的直線折疊，點O恰好落在邊BC上

Answer 1

 
小題1:∵直線y＝－x＋b平分矩形OABC的面積，∴其必過矩形的中心
由題意得矩形的中心坐標為（6，3），∴3＝－×6＋b
解得b＝12 4分

小題2:假設存在ON平分∠CNM的情況
①當直線PM與邊BC和邊OA相交時，過O作OH⊥PM于H
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，∴OH＝OC＝6
由（1）知OP＝12，∴∠OPM＝30°
∴OM＝OP·tan30°＝
當y＝0時，由－x＋12＝0解得x＝8，∴OD＝8
∴DM＝8－ ···················· 6分
②當直線PM與直線BC和x軸相交時
同上可得DM＝8＋（或由OM＝MN解得） 8分
小題3:假設沿DE將矩形OABC折疊，點O落在邊BC上O′處連結PO′、OO′，則有PO′＝OP

由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′＝OO′
∴△OPO′為等邊三角形，∴∠OPD＝30°
而由（2）知∠OPD＞30°
所以沿DE將矩形OABC折疊，點O不可能落在邊BC上 ··········· 9分
設沿直線y＝－x＋a將矩形OABC折疊，點O恰好落在邊BC上O′處
連結P′O′、OO′，則有P′O′＝OP′＝a
由題意得：CP′＝a－6，∠OPD＝∠AO′O
在Rt△OPD中，tan∠OPD＝
在Rt△OAO′中，tan∠AO′O＝
∴＝，即＝，AO′＝9
在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：(a－6)²＋9²＝a²
解得a＝，12－＝

所以將直線y＝－x＋12沿y軸向下平移個單位得直線y＝－x＋，將矩形OABC沿直線y＝－x＋折疊，點O恰好落在邊BC上    12分

 略