Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象對稱軸為x=，圖象交x軸于A，B，交y軸于C（0，-3），且AB=5，直線y=kx+b（k＞0）與二次函數圖象交于M，N（M在N的右邊），交y軸于P．
（1）求二次函數圖象的解析式；
（2）若b=-5，且△CMN的面積為3，求k的值；
（3）若b=-3k，直線AN交y軸于Q，求的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）k=2；（3）≥.

【解析】

（1）由圖象對稱軸為x=，AB=5，知：A（-2，0）、B（0，-3），把A、B、C點坐標代入二次函數即可求解；

（2）S△CMN=HNxM=6，用根與系數的關系求解即可；

（3）求出xN=，分2k-5＞0時和2k-5＜0兩種情況，求出點Q坐標即可求解．

（1）由圖象對稱軸為x=，AB=5，知：A（-2，0）、B（0，-3），

把A、B、C點坐標代入二次函數表達式得：a=，b=-，c=-3；

故函數表達式為：y=x2-x-3…①；

（2）b=-5，直線MN表達式為：y=kx-5…②，

設：M（x1，y1），N（x2，y2），

將①、②聯立并整理得：x2-（2k+1）x+4=0，

則：x1+x2=2k+1，x1x2=4，

直線C（0，-3）、M（x1，y1）所在的直線方程為：

y=，

過N點做直線HM∥y軸，交MC于H，則H（x1，x13），

S△CMN=HNxM=6，

整理得：x1y2-x2y1+3x1-3x2=6，

把y1=3x1-5，y2=3x2-5，代入上式整理得：

x2-x1=3，

即：（x1+x2）2-4x1x2=9，

k=2；

（3）b=-3k，直線y=kx+b=kx-3k…③，

將①、③方程聯立并整理得：

x2-（2k+1）x+（6k-6）=0，

△=4k2-20k+25=（2k-5）2＞0，

xN=，

當2k-5＞0時，

xN=3，則N（3，0），

而Q（0，0），P（0，-3k），C（0，-3）

則：CP=3k-3，CQ=3，

∴=k-1，即：＞；

當2k-5＜0時，

xN=2k-2，則N（2k-2，2k2-5k），

則AN所在的直線方程為：y=x+(2k5)，

則：Q（0，2k-5），

而C（0，-3）P（0，-3k），

則：CP=3k-3，CQ=2k-2，

∴=，

故：≥．