Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．

（1）求∠A+∠C的度數；

（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數量關系，并說明理由；

（3）若AB＝1，點E在四邊形ABCD內部運動，且滿足AE2＝BE2+CE2，求點E運動路徑的長度．

Answer 1

【答案】（1）270°；（2）DB2＝DA2+DC2；（3）．

【解析】

（1）利用四邊形內角和定理計算即可；

（2）連接BD．以BD為邊向下作等邊三角形△BDQ．想辦法證明△DCQ是直角三角形即可解決問題；

（3）如圖3中，連接AC，將△ACE繞點A順時針旋轉60°得到△ABR，連接RE．想辦法證明∠BEC=150°即可解決問題.

（1）如圖1中，

在四邊形ABCD中，

∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠C＝30°，

∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°；

（2）如圖2中，結論：DB2＝DA2+DC2，

理由：連接BD，以BD為邊向下作等邊三角形△BDQ，

∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，

∴∠ABD＝∠CBQ，

∵AB＝BC，DB＝BQ，

∴△ABD≌△CBQ，

∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，

∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，

∴∠DCQ＝90°，

∴DQ2＝DC2+CQ2，

∵CQ＝DA，DQ＝DB，

∴DB2＝DA2+DC2；

（3）如圖3中，

連接AC，將△ACE繞點A順時針旋轉60°得到△ABR，連接RE，則△AER是等邊三角形，

∵EA2＝EB2+EC2，EA＝RE，EC＝RB，

∴RE2＝RB2+EB2，

∴∠EBR＝90°，

∴∠RAE+∠RBE＝150°，

∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°，

∴∠BEC＝150°，

∴點E的運動軌跡在O為圓心的圓上，在⊙O上取一點K，連接KB，KC，OB，OC，

∵∠K+∠BEC＝180°，

∴∠K＝30°，∠BOC＝60°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴點E的運動路徑．