Question

【題目】某工藝品廠生產一種汽車裝飾品，每件生產成本為20元，銷售價格在30元至80元之間（含30元和80元），銷售過程中的管理、倉儲、運輸等各種費用（不含生產成本）總計50萬元，其銷售量y（萬個）與銷售價格（元/個）的函數關系如圖所示．

（1）當30≤x≤60時，求y與x的函數關系式；

（2）求出該廠生產銷售這種產品的純利潤w（萬元）與銷售價格x（元/個）的函數關系式；

（3）銷售價格應定為多少元時，獲得利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣0.1x+8（30≤x≤60）（2）w=（3）當銷售價格定為50元/件或80元/件，獲得利潤最大，最大利潤是40萬元

【解析】

試題分析：（1）由圖象知，當30≤x≤60時，圖象過（60，2）和（30，5），運用待定系數法求解析式即可；

（2）根據銷售產品的純利潤=銷售量×單個利潤，分30≤x≤60和60＜x≤80列函數表達式；

（3）當30≤x≤60時，運用二次函數性質解決，當60＜x≤80時，運用反比例函數性質解答．

試題解析：（1）當x=60時，y==2，

∴當30≤x≤60時，圖象過（60，2）和（30，5），

設y=kx+b，則

，

解得：，

∴y=﹣0.1x+8（30≤x≤60）；

（2）根據題意，當30≤x≤60時，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50=﹣0.1x2+10x﹣210，

當60＜x≤80時，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）·﹣50=﹣+70，

綜上所述：W=；

（3）當30≤x≤60時，W=﹣0.1x2+10x﹣210=﹣0.1（x﹣50）2+40，

當x=50時，W最大=40（萬元）；

當60＜x≤80時，W=﹣+70，

∵﹣2400＜0，W隨x的增大而增大，

∴當x=80時，W最大=﹣+70=40（萬元），

答：當銷售價格定為50元/件或80元/件，獲得利潤最大，最大利潤是40萬元．