Question

【題目】閱讀理解：
【問題情境】金老師給“數學小達人”小明和小軍提出這樣一個問題：
如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線．求證：AB+BD=AC．

【證明思路】小明的證明思路是：如圖2，在AC上截取AE=AB，連接DE．……

小軍的證明思路是：如圖3，延長CB至點E，使BE=AB，連接AE．可以證得：AE=DE．……
（1）請你從他們的思路中，任意選擇一種思路繼續完成下一步的證明．
（2）【變式探究】如圖4，金老師把“AD是∠BAC的平分線”改成“AD是BC邊上的高”，其它條件不變，那么AB+BD=AC還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，寫出正確結論，并說明理由．

（3）【遷移拓展】如圖5，△ABC中，∠B=2∠C．求證：AC2—AB2=AB×BC．

Answer 1

【答案】
（1）解：小明的證明思路是：在AC上截取AE=AB，連接DE．（如圖2）

∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠EAD，

又∵AD=AD， ∴△ABD≌△AED，∴BD=DE，∠ABD=∠AED，

又∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，

∴∠EDC=∠C，∴ DE=EC， 即AB+BD=AC．

小軍的證明思路是：延長CB至點E，使BE=AB，連接AE．（如圖3）

則∠E=∠BAE，∴∠ABC=2∠E，

∵∠ABC=2∠C，∴∠E=∠C，∴△AEC是等腰三角形．

∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE，

又∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠BAD=∠DAC，

∴∠ADE=∠DAE，∴△AED是等腰三角形．

∴EA=ED=AC，∴AB+BD=AC．

（2）解：AB+BD=AC不成立．正確結論是：AB+BD=CD．

方法1：如圖4，在CD上截取DE=DB，

∵AD⊥BC， ∴ AD是BE的垂直平分線，

∴AE=AB， ∴∠B=∠AED，

∵∠AED =∠C+∠CAE，

∵∠B=2∠C，∴∠C=∠CAE，

∴ AE=EC， 即AB+BD=CD．

方法2：如圖5，延長DB至點E，使BE=AB，則∠E=∠BAE，

∵∠ABD =∠E+∠BAE =2∠E，

∵∠B=2∠C，∴∠E=∠C，∴△AEC是等腰三角形．

∵AD⊥BC，∴CD=ED， 即AB+BD=CD．

（3）解：如圖6，過點A作AD⊥BC于D．

由勾股定理得：AB2=BD2+AD2， AC2=CD2+AD2，

∴ AC2—AB2=CD2—BD2=（CD+BD）×（CD—BD）=BC×（CD—BD），

∵AB+BD=CD，∴ CD—BD=AB，

∴ AC2—AB2=BC×（CD—BD）=BC×AB，即AC2-AB2+AB×BC．

【解析】（1）根據已知條件和角平分線的性質，得到△ABD≌△AED，根據根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和和∠B=2∠C，得到∠EDC=∠C，根據等角對等邊得到DE=EC， 即AB+BD=AC；（2）根據已知條件由AD⊥BC，得到AD是BE的垂直平分線，根據垂直平分線得到AB+BD=CD；（3）根據勾股定理和兩等式相減，得到AC2-AB2+AB×BC．