Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE是中線，CG平分∠ACB交BE于點G，F為AB邊上一點，且∠ACF=∠CBG．

（1）求證：CF=BG；
（2）延長CG交AB于點H，判斷點G是否在線段AB的垂直平分線上？并說明理由．
（3）過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，請證明：CF=2DE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵CG平分∠ACB，

∴∠BCG=45°=∠A，

∴∠BCG=∠CAB=45°，

在△ACF和△BCG中， ，

∴△ACF≌△BCG（ASA），

∴AF=CG，CF=BG

（2）解：點G在線段AB的垂直平分線上，如圖1所示：理由如下：

∵AC=BC，CG平分∠ACB，

∴CH⊥AB，H為AB中點，

∴點G在線段AB的垂直平分線上

（3）證明：連接AG．如圖2所示：

由（2）可知，AG=BG，∠GAB=∠GBA，

∵AD⊥AB，

∴∠GAB+∠GAD=∠GBA+∠D=90°，

∴∠GAD=∠D，

∴GA=GD=GB=CF．

∵AD⊥AB，CH⊥AB

∴CH∥AD，

∴∠D=∠EGC，

∵E為AC中點，

∴AE=EC，

在△AED和△CEG中， ，

∴△AED≌△CEG（SAS），

∴DE=EG，

∴DG=2DE，

∴CF=2DE

【解析】（1）根據角平分線的性質、等邊對等角和已知條件證明出△ACF≌△BCG，得出AF=CG，CF=BG；（2）根據等腰三角形的三線合一，得到點G在線段AB的垂直平分線上；（3）由（2）可知，AG=BG，∠GAB=∠GBA，已知AD⊥AB，得到∠GAD=∠D，GA=GD=GB=CF，得到 △AED≌△CEG，得到DE=EG，DG=2DE，CF=2DE.