Question

【題目】如圖，在△ABC中，O為AC上一點以O為圓心，OC長為半徑作圓，與BC相切于點C，過點A作AD⊥BO交BO延長線于點D，且∠AOD=∠BAD．

（1）求證：AB為⊙O的切線；

（2）若BC=6，tan∠ABC，求OD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后證△BOC≌△BOE得OE=OC，依據切線的判定可得；
（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切線長定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，繼而得OB3，再證△ABD∽△OBC得，據此可得AD=2，再根據OD求解可得答案．

（1）過點O作OE⊥AB于點E，

∵AD⊥BO于點D，

∴∠D=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°．

∵∠AOD=∠BAD，

∴∠ABD=∠OAD，

又∵BC為⊙O的切線，

∴AC⊥BC，

∴∠BCO=∠D=90°．

∵∠BOC=∠AOD，

∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，

在△BOC和△BOE中，

∵，

∴△BOC≌△BOE（AAS），

∴OE=OC．

∵OE⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，

∴∠EOA=∠ABC．

∵tan∠ABC、BC=6，

∴AC=BCtan∠ABC=8，

則AB=10，

由（1）知BE=BC=6，

∴AE=4．

∵tan∠EOA=tan∠ABC，

∴，

∴OE=3，

則OC=OE=3，

∴AO=5，OB3，

∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，

∴△ABD∽△OBC，

∴，即，

∴AD=2，

∴OD．