Question

【題目】我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．

（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱 ， ；

（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你直接寫出所有以格點為頂點，OA、OB為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點M的坐標．

（3）如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到ADBE，連接AD、DC，∠DCB=30°．求證：DC+BC=AC，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

（4）如圖，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉（0°＜a＜90°），得到ADBE，連接AD、DC，則∠DCB= °，四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

【答案】（1）矩形，正方形；（2）M（3，4），M（4，3）；（3）證明見解析；（4）.

【解析】

試題分析：（1）根據定義和勾股四邊形的性質，有矩形或正方形或直角梯形滿足題意；

（2）OM=AB知以格點為頂點的M共兩個，分別得出答案；

（3）連接CE，證明△BCE是等邊三角形，△DCE是直角三角形，繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形；

（4）連接CE，證明△DCE是直角三角形，繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形．

試題解析：（1）學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：矩形，正方形；

（2）如圖1所示：M（3，4），M（4，3）；

（3）如圖2，連接CE，由旋轉得：△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

∵∠CBE=60，

∴△CBE為等邊三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60，

∵∠DCB=30，

∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，

∴DC2+EC2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

∴即四邊形ABCD是勾股四邊形．

（4）如圖3，當∠DCB=，四邊形ABCD是勾股四邊形，

理由：連接CE，

由旋轉得：△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

又∵∠CBE=α，

∴∠BCE=∠BEC=90°-，

∴∠DCE=90°，

∴DC2+EC2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

∴即四邊形ABCD是勾股四邊形